Logaritmické pravítko neboli logáro

Logaritmické pravítko bývalo – spolu s rýsovacím prknem – nezbytnou rekvizitou pro inženýra ve starším filmu. „Ale co to vlastně je – nebo spíš, co to bylo?“ ptá se mladší generace. „Výpočetní technika analogová,“ odpovídají starší. A dodávají: „Protože převáděla zpracovávané číslo na analogickou fyzikální veličinu, totiž délku, a nepracovala s ním symbolicky, jako tvoje digitální kalkulačka“.

Jak vypadá logaritmické pravítko?
Pravítko sestává z pevné části (nazývejme ji Základ) dlouhé u stolních pravítek asi 28 cm, u kapesních 10 cm až 15 cm, v níž lze posouvat stejně dlouhým páskem (Běžec), a přes to celé lze posouvat průhledný Jezdec s jednou hlavní, a občas několika vedlejšími ryskami. Na styčných hranách Základu a Běžce jsou vyneseny stejné stupnice – dole 1 až 10 (x), nahoře 1 – 10 – 100 (x²). Uprostřed Běžce bývá červená stupnice 10 – 1 (1/x) obrácená vůči dolní, na Základu bývají ještě úplně nahoře stupnice 1 – 10 – 100 – 1000 (x³), úplně dole zcela rovnoměrná stupnice 0 – 1 (lg x). Běžec někdy má z druhé strany stupnice sin x a tan x, takže tušíte, že je toho na pravítku k vidění dost. A ještě navíc bývá někde centimetrová stupnice (pro měření na rysu).

A když ještě najdete na stupnici často se vyskytující konstanty jako ω a 1/ω anebo na Jezdci dvě rysky pro automatické určení obsahu Q kruhu (horní stupnice) při známém průměru d (dolní stupnice), tedy Q = ωd²/4 ≈ 0,7854 d², ba někdy i rysky na převod kilowattů na koňské síly apod., tak pochopíte, proč byla pravítka svého času v takové oblibě.

(Není to sice nutné, ale pravítko je zpravidla umolousané od tuhy z rysů, mívá od pádu nalomený roh a jezdec bývá poškrábaný z kapsy pláště od klíčů – kdo by ho pořád strkal do pouzdra, že.)

Jak se s ním pracuje?
Ať posunete Běžec vůči Základu jakkoli daleko doleva či doprava, vždy jsou poměry hodnot čísel na stupnici Běžce i Základu stejné: na pravítku z obrázku 1 vidíte z dolní stupnice, že
1 : 1,5 = 1,2 : 1,8 = 1,5 : 2,25 = 1,6 : 2,4 = 1,7 : 2,55 = … 3 : 4 = 4 : 6 = 5 : 7,5 = … = 6,67 : 10 = …

To platí i na horní stupnici, která vůči dolním hodnotám x udává x²:
0,8 : 1,8 = 0,9 : 2 = 0,9 : 2,02 = 1 : 2,25 = 1,2 : 2,7 = …

Toto všecko platí o všem s přesností, s jakou dokážete číst intervaly mezi proměnnými dílky stupnic: zprvu po 1, pak po 2, pak po 5. Odhad je ovšem otázkou cviku, ale naučíte se to překvapivě rychle.

Takže: 15 × 20 = ? Začátek Běžce (b) nastavím oproti 1,5 na Základu a naproti 2,0 (c) vidím 3,0. Zajel jsem tam ryskou Jezdce, ale nutné to není. Teď ještě určit řád: dvakrát jsem posunul desetinnou čárku doprava (15 na 1,5 a 20 na 2,0), tak to musím napravit: výsledek bude tedy 300.

K výsledku 3 vidím současně, že lg 3 = 0,476 (nejdolejší stupnice), 3² = 9 horní stupnice (jak vidíte, pravítko jsem nenastavil moc přesně) a 3³ = 26,5 (tady se mi má ledabylost vymstila:-()

Jakmile jsem ale nastavil (b) na 1,5, vidím současně všechny násobky tohoto čísla:
2 × 1,5 = 3, ale i 4,4 × 1,5 = 6,6 atd. V každé vzájemné poloze Běžce vůči Základu rozřešíme tedy pouhým pohledem celou řadu trojčlenek; to stojí za to, ne? Dále můžeme posuvem vpravo či vlevo násobit či dělit, při přechodu mezi stupnicemi i umocňovat na druhou a odmocňovat, na dalších stupnicích pak najít převrácenou hodnotu, sinus, tangens …

Jezdec slouží jen k přesnějšímu nastavení polohy rysky na stupnicích, a abychom jednou vyhledanou polohu neztratili z očí. Bývají na něm ale pomocné rysky umožňující rychlé vynásobení několika konstantami blízkými jedné, případně s umocněním na druhou (přechodem na druhou stupnici).

Jak to, že to funguje?
Uděláte-li si sami něco podobného ze dvou měřítek (na jednom musíte obrátit pořadí čísel), zjistíte snadno, že tentokrát nemají čísla proti sobě stejný poměr, ale rozdíl. Podívejte se na obrázek 2 s dvěma obyčejnými pravítky (s centimetrovou stupnicí). Posuneme-li horní stupnici o 4 (centimetry), můžeme tak snadno přičítat čtyřku k číslům stupnice Běžce a dostávat čísla na Základu. Stejně snadno můžeme ovšem odečítat, když Běžec posuneme doleva.

Můžete pro svého sourozence z první třídy takto udělat „bezlogaritmické sčítací pravítko“ s jedinou dvojicí stupnic ze dvou papírových pravítek!

A v tomto dobře pochopitelném sčítání či odčítání je nikoli ještě celý vtip, ale už první půlka vtipu.

Logaritmické pravítko také vezme délku od začátku stupnice Základu (a) do začátku stupnice Běžce (b) a přičte ji k vzdálenosti na Běžci, kam se díváte nebo kam si ukazujete Jezdcem (c). Jak každý vidí, na délku platí ab + bc = ac, ale není to celé. Druhá půlka vtipu je v tom, že na stupnicích není vyneseno číslo – délka ab, ale jeho exponenciální hodnota e^ab. A protože exponenciála součtu argumentů je rovna součinu exponenciál, tedy e^ac = e(ab + bc) = e^ab × e ^bc, čteme na stupnici součin zadaných hodnot a nikoli jejich součet. Kdyby vám snad výsledek měl vyjít mimo pravítko, tak násobitele určíte nikoli první, ale poslední jedničkou na Běžci (tedy vlastně desítkou) – přesunete Běžec na druhou stranu, a víte, že výsledek bude desetkrát větší.

Stejně je tomu při porovnání hodnot na stupnici Základu a Běžce v libovolné poloze: to, co je u centimetrů stálý rozdíl hodnot na Základu a Běžci, dává u exponenciálních hodnot stálý poměr těchto hodnot.

A proč je to pravítko logaritmické a ne exponenciální? Protože inverzní funkce k exponenciále je logaritmus. Hledáte-li na stupnici číslo x, bude ve vzdálenosti logaritmu x od čísla 1 na stupnici; připomeňme, že log_n 1 = 0 pro libovolný základ n.

Je úhlopříčka okna opravdu 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7… m?
Analogový přístup je jednoduchý; přesnost má tak 2 – 3 číslice. To v praxi velmi často stačí. Nevěřte, že úhlopříčka v metrovém okně je dlouhá přesně 1,414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 7… m podle kalkulačky z WINDOWS. Sám pojem délky hrany okna není zdaleka tak přesně definován, a už desetinu milimetru můžete na dřevě s klidem oželet. A když víme, že rozměry 10 ^–10 m mají atomy, 10 ^–15 m atomová jádra … tak těch 32 cifer je opravdu nesmyslně mnoho.

Bohatou náhradou za malou přesnost na pravítku je však přehlednost a současný náhled na více výsledků. Pouhým pohledem, bez vyklepávání dalších číslic, vidíte na spodní stupnici Základu všechny násobky čísla 1,5. A protože na horních stupnicích Běžce i Základu je vynesena druhá mocnina, vidíte i násobky čísla 1,5² = 2,25 pro určování ploch s rozměrem 1,5krát větším.

Ani dnes nepatří do koše
I dnes se může výborně hodit. Vidíte na něm totiž jediným pohledem více poměrů zároveň. Nejen tedy např. že 1:1,5 = 2:3, ale že je to také 1,6:2,4 = 2,2:3,2 = 2,6:3,9 = …Je to k nezaplacení, když např. hledáte přiblížení poměrem malých celých čísel.

Další aplikací jsou speciální „pravítka“, třeba kruhové. Tam jednak odpadá problém s Běžcem mimo pevnou část, jednak automaticky zahrnete vhodnou periodicitu, třeba roku. Na hospodářském „kruhovém pravítku“ je tedy kolem dokola 1 rok, a vy k datu na vnějším obvodu přičtete dobu uvažované činnosti vyznačenou na vnitřní otočné části – a vidíte ihned nové datum (v přestupném roce musíte ovšem občas změnit o jeden den).

Tato pomůcka není ani logaritmická (nenásobíme, stačí nám přičítání a odčítání), ani pravítko (je kruhové).

Jenže slaměný vdovec taky není ani slaměný, ani vdovec, že?

Byla i pravítka válcová a šroubovicová, užívaná zejména pro časté převody jednotek a pro násobení často se vyskytujícími technickými či technologickými konstantami. Inu: vhodná kalkulačka může nyní mít v paměti o hodně víc konstant (případně i nastavitelných), než je únosné mít rysek na Běžci – ale dokud nebyla rozvinutá fyzika pevných látek, a s ní integrované obvody, tak to jinak nešlo.