Torricelli a poločas přeměny

Z hodin fyziky víte, že pro popis radioaktivity se používá fyzikální veličina poločas přeměny T. Je to doba, za kterou se rozpadne právě polovina jader sledovaného radioizotopu. Ze zbývající poloviny se za další poločas přeměny rozpadne opět polovina jader atd.

Rychlost radioaktivních přeměn není konstantní, ale postupně se zmenšuje. Z původního počtu radioaktivních jader No po uplynutí doby t ve vzorku zůstane N radioaktivních jader. Tato závislost je vyjádřena známým zákonem radioaktivních přeměn, případně jeho grafem:

Obr. ROZPAD1:   Graf radioaktivního rozpadu

Pro lepší porozumění pojmu „poločas přeměny“ se používají různé modely. V brožurce Svět energie – Jaderné hrátky jsou popsány dva: První je založen na pravděpodobnosti při házení mincemi, ve druhém se měří rychlost klesání pivní pěny v odměrce. V tomto článku uvádíme návod na konstrukci a použití „vodního“ modelu radioaktivních přeměn. Práce s ním je jednoduchá – postupně se měří výška vodní hladiny v průhledné trubici, ze které vytéká voda malým otvorem u dna. Co však má vytékající voda společného s radioaktivitou?

Abychom mohli odpovědět na tuto otázku, musíme se vrátit proti proudu času až do poloviny 17. století. Italský přírodovědec Evangelista Torricelli studoval mj. hydrostatiku a hydrodynamiku a dosáhl v těchto oborech významných úspěchů. Dodnes najdeme v učebnicích fyziky jím odvozený vztah pro rychlost vytékání kapaliny otvorem ve stěně nádoby:

A právě Torricelliho vzorec je teoretickým základem našeho modelu pro měření poločasu přeměny radioaktivního izotopu. Vyplývá z něj, že rychlost vytékání kapaliny v (v našem případě to bude voda) není konstantní, ale závisí na výšce vodního sloupce h  nad otvorem. Zpočátku je rychlost velká a hladina vody v trubici proto z původní výšky ho klesá rychle. Čím je vodní sloupec nižší, tím pomaleji voda vytéká a pomaleji klesá i vodní hladina. Rychlost klesání vodní hladiny má podobný průběh jako rychlost radioaktivních přeměn a to je podstatou našeho modelu. Jestliže už umíte integrovat, můžete na základě poměrně jednoduché úvahy matematicky odvodit vztah pro závislost výšky hladiny h na čase t. Platí, že

Velikost konstanty k v rovnici závisí na průměru trubice a výtokového otvoru. Postupné zpomalování poklesu hladiny je dobře patrné na grafu uvedené funkce, vytvořeném v Excelu:

Obr.ROZPAD2:   Závislost výšky hladiny vody na čase

Teoretický úvod máme za sebou a můžeme se pustit do sestavení pomůcky. Jejím základem je asi 60 cm dlouhá plexisklová, příp. skleněná trubice. Na jednom konci ji vodotěsně uzavřeme gumovou nebo korkovou zátkou. Do stěny poblíž dna vyvrtáme otvor a vlepíme do něho krátkou trubičku s nasunutým odřezkem hadičky, nejlépe teflonové. Průřez takto vzniklého výtokového otvoru budeme regulovat tlačkou, používanou v chemické laboratoři. Použijeme-li skleněnou trubici, umístíme výtokový otvor v zátce, tvořící dno. Na trubici nalepíme (a přelepíme průhlednou samolepicí páskou) milimetrové měřítko s celkovou délkou 50 cm. Nula měřítka bude v ose výtokového otvoru. Trubici upevníme svisle do stojanu, pod výtokovou hadičku položíme plochou nádobu a můžeme zahájit měření.

Obr.ROZPAD4:   Tyto díly budeme potřebovat ke stavbě modelu

Obr.ROZPAD5:   Detail výtokového otvoru s regulační  tlačkou

Obr.ROZPAD7:   „Vodní“ model radioaktivních přeměn je připraven k měření

Před vlastním měřením nejprve tlačkou nastavte rychlost vytékání tak, aby hladina klesla na polovinu za 30–40 sekund. Při rychlejším vytékání by nebyly údaje ze začátku měření dostatečně přesné. Měření je vhodné provádět ve trojici: jeden na stopkách měří čas, druhý na měřítku odečítá okamžitou výšku hladiny a třetí zapisuje naměřené hodnoty do tabulky. Výšku hladiny měřte každých 10 sekund až do hodnoty přibližně 10 mm. Z naměřených hodnot sestrojte na milimetrový papír nebo pomocí Excelu graf. Najděte na něm „poločas přeměny“ T – dobu, za kterou klesla hladina na polovinu, tj. do výšky 25 cm. Pak z grafu odečtěte, kdy dosáhla hladina výšky 12,5 cm (2T), 6,25 cm (3T) a 3,1  cm (4T). Před dalším měřením nastavte tlačkou menší rychlost vytékání. Tím budete modelovat radioaktivní rozpad s delším poločasem přeměny. 

Obr.ROZPAD6:   Jeden měří čas, druhý výšku hladiny a třetí zapisuje výsledky

Obr.ROZPAD8:   Grafické znázornění výsledků dvou měření s vyznačením „poločasů přeměn“

Poznámka

Získané výsledky budou odpovídat průběhu radioaktivního rozpadu přibližně do výšky hladiny 15 cm. Při menších výškách je odchylka od očekávaných hodnot 2T, 3T, 4T stále větší. Je to dáno tím, že závislost výšky hladiny na čase není exponenciální (jako je tomu u radioaktivního rozpadu), ale má parabolický průběh. Navíc uvedený Torricelliho vzorec platí jen pro vytékání ideální kapaliny.  

Kdo byl E. Torricelli?
Evangelista Torricelli se narodil 15. 10. 1608 v italské Faenze a zemřel 25. října 1647 ve Florencii. Už v dětství ztratil rodiče a vychovával ho jeho strýc. Od mládí měl zájem o přírodní vědy. Tyto obory studoval na jezuitské koleji a později u matematika Castelliho. Stal se horlivým zastáncem Galileova astronomického učení. Když se tento učenec seznámil s vědeckými pracemi Torricelliho, pozval ho v roce 1641 do místa svého nuceného pobytu v Arcetri. Torricelli se stal posledním Galileovým žákem, později tajemníkem a po Galileiho smrti také jeho nástupcem ve funkci matematika toskánského velkovévody. Na základě experimentálních výsledků odvodil rovnici pro rychlost vytékání kapaliny z otvoru ve stěně nádoby a formuloval zákon spojitých nádob. V roce 1643 provedl známý pokus s trubicí naplněnou rtutí a dokázal existenci atmosférického tlaku. Vynalezl rtuťový tlakoměr a není proto divu, že donedávna se na jeho počest k měření tlaku (zejména v meteorologii) používala jednotka torr.

Obr.ROZPAD3:   Evangelista Torricelli (1608 – 1647)