Soustavy ISQ a SI

"Jsou to všechno šejdíři, tihle obchodníci! Chtěl jsem deset deka salámu a podívejte, co mi dali. Jo, to za mejch mladejch let deset deka salámu, to bylo nějakýho salámu!" Anekdota? Jasně. Dřív bylo všechno lepší, větší, voňavější… Ale co když se závaží v obchodě ošoupalo či vysublimovalo a neváží už stejně jako když bylo nové? Myslíte, že se to nemůže stát? (Odmysleme si na chvíli automatické elektronické váhy…)

Již téměř všechny jednotky mezinárodního systému SI jsou definovány pomocí základních fyzikálních konstant nebo atomových konstant. Pouze jednotka hmotnosti – kilogram – je stále definovaná prototypem. Protože existují obavy podložené velmi přesnými měřeními, že prototyp, přestože je uchováván v přísných podmínkách, svou hmotnost mění (až o 50 μg), chtějí vědci definovat i kilogram pomocí nejzákladnějších fyzikálních konstant – Planckovy a případně i Avogadrovy.

Soutěž

Dosud platná definice kilogramu zní: Je to hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu vyrobeného ze slitiny platiny a iridia, který je od roku 1875 uchováván v sejfu Mezinárodního úřadu pro míry a váhy v Paříži. Národní metrologické úřady se tedy mohou přesvědčit o přesnosti svých národních standardů jen porovnáním s tímto prototypem. Od 70. let se již pracuje na předefinování kilogramu. Comité International des Poids et Mesures iniciovalo doslova soutěž mezi národními metrologickými úřady a mělo by zveřejnit nové definice kilogramu, ampéru a kelvinu v letošním roce.

Projekt Avogadro

Základní myšlenkou je spojit jednotku hmotnosti s přesně známými fyzikálními konstantami, které definují počet atomů v molárním objemu. Německým vědcům se v 70. létech poprvé podařilo určit rozměry mřížky v křemíkovém krystalu pomocí rentgenové interferometrie bez nutnosti znát vlnovou délku záření X. Tak bylo možné propojit kilogram s jednotkou atomové hmotnosti. Avogadrova konstanta N_A, která určuje počet atomů v jednom molu, slouží jako spojení mezi makroskopickou hmotností a hmotností atomu:

N_A = M_mol / m_Si = (M_mol .V) / (m. v_o),

kde M_mol je molární hmotnost, m_Si hmotnost atomu křemíku, V a m jsou objem a hmotnost křemíkové koule, a v_o je objem, který zaujímá atom křemíku. Nejprve byly určeny V a m. Ze vzorků stejného krystalu byly změřeny molární hmotnost a objem atomu. Pokud je známo N_A, pak je snadné odvodit počet atomů v kilogramu ze stejného materiálu. Všechny měřené veličiny musejí být přirozeně vysledovatelné zpět na stávající základní jednotky SI.

Projekt Výkonové váhy (Watt Balance)

Závaží se vyvažuje magnetickou silou elektrického proudu ve statické rovnováze:

F = I L B = m g,

kde F je síla, I elektrický proud, L délka drátu cívky, B magnetická indukce, m hmotnost a g tíhové zrychlení. V dynamické rovnováze platí

U = B L v,

kde U je indukované napětí, v rychlost cívky. Porovnáním výrazů získáme

U I = m g v.

Levá strana udává výkon, proto „výkonová váha“. Žádný skutečný výkon se ale v pokusu neměří; proud se měří ve statické části přes elektrický odpor a napětí ve statické části, obojí dvěma makroskopickými kvantovými jevy – kvantovým Hallovým jevem s von Klitzingovou konstantou R_K = h/e², kde h je Planckova konstanta a e elementární náboj (např. protonu), a dále Josephsonovým jevem s konstantou K_J = 2e / h.

Soustava veličin

Ve fyzice užíváme Mezinárodní soustavu veličin ISQ se sedmi základními veličinami. Na jejích jednotkáchzákladních – metr, kilogram, sekunda, ampér, kelvin, mol a kandela a odvozených (litr, ohm, metr za sekundu apod.) a jejich značkách (s, kWh apod.) včetně řady předpon pro desítkové násobky a díly a dalších pravidlech je založena Mezinárodní soustava jednotek SI. Na základě ISQ a SI je rovněž definována britská soustava s librou, palcem a stupněm Fahrenheita.

Dodejme, že na rozdíl od názvů veličin (délka) i jednotek (metr), které jsou různé v různých jazycích, jsou názvy značek jednotek mezinárodní (m). A tak v našem pestrém světě jsou vedle těchto značek už jen tři další mezinárodní značení: značky předpon pro desetinné násobky (např. kilo: k) a díly (např. mikro: μ) těchto jednotek, značky chemických prvků a noty v hudbě.

Problém fyzikálně-politický
Měrová jednotka musí být dobře dosažitelná a reprodukovatelná. Sáh (roztažené ruce), loket, stopa jistě dobře dosažitelné jsou, horší to je ovšem s přesností při reprodukci. SI vznikala v Evropě v době, kdy měly různé státy, ba i různá města, své jednotky (loket na radnici). Jejich užití ovšem bylo i otázkou prestižní a politickou.

Francouzská revoluce s ideály svobody, rovnosti a bratrství ovlivnila výběr jednotek tak, aby byly společné celému světu: metr z rozměrů Země, den z jejího otáčení, kilogram z metru a hustoty vody, společné také všem lidem.

Ale časem se Zeměkoule ukázala nebýt tak docela koulí, neotáčí se dost rovnoměrně a voda na různých místech má různé izotopické složení. A hlavně, Země už není středem Vesmíru. Je jen jednou z mnoha planet Slunce – nevýznamné hvězdy na okraji Mléčné dráhy, mlhoviny se sto miliardou hvězd, a takových mlhovin je ve Vesmíru taky asi sto miliard. A jak říct zeleným mužíčkům od Siria, kolik je desetimiliontá část kvadrantu zemského?

Volba a výběr počtu základních veličin
Počet základních veličin, a tím i jejich jednotek (v CGS tři, v SI sedm), je zcela věcí dohody lidí, neopírá se o žádnou přírodní zákonitost (jako třeba že žijeme v trojrozměrném prostoru). Délku by bylo možné udávat dobou, za kterou ve vakuu světlo hledanou délku urazí. Nyní je takto definován metr – je převeden na jednotku času přes fundamentální konstantu, světelnou rychlost c₀. V každodenní praxi by se to nehodilo, ale v astronomii se to běžně dělá (světelné roky) a v teorii relativity rovněž.

Každá pevně zvolená fyzikální konstanta snižuje počet „základních“ jednotek:

1. Světelná rychlost c₀ spojuje délku a čas a může tedy snížit počet základních o jednu (třeba o délku, jak je tomu v SI).

2. Planckova konstanta h se spojí s hmotností takto:

Energie E fotonu závisí na jeho frekvenci f vztahem

E = hf.

Dále, energie je ekvivalentní hmotnosti m podle vztahu

E = mc₀².

Odtud dostaneme dosazením

m = h f / c₀²,

takže fotonu o frekvenci f můžeme přiřadit hmotnost m podle tohoto vzorce. Frekvence je převrácenou hodnotou periody, a tu měříme sekundou. Pomocí sekundy jakožto jednotky času a daných hodnot elementárních konstant c₀ a h tedy můžeme vyjádřit kilogram coby jednotku hmotnosti m.

3. Elementární náboj q (třeba náboj protonu) nahradí umělou definici coulombu, a tím i ampéru.

4. Boltzmannova konstanta k_B propojuje teplotu s energií vztahem E = k_BT.

5. Avogadrovou konstantou N_A lze definovat množství látky a tím i mol.

6. Kandela je navázána pomocí dohodnuté křivky citlivosti oka na energii.

Tím bude jedinou „experimentální“ jednotkou sekunda.

Jednotky dnes
Čas: Původně byl jednotkou „střední slunečný den“. Přesná měření však ukázala jeho drobnou proměnnost (danou krátkodobě např. přesuny mas vody a vzduchu a dlouhodobě pozvolným vzdalováním Měsíce od Země). Proto byl (1960) vzat za základ tropický rok 1960 daný obletem Země kolem Slunce, ale i ten se prodlužuje. Atomové hodiny záhy předběhly i tradiční přesnost astronomickou. Nyní mají běžné césiové hodiny bezkonkurenční stabilitu a přesnost řádově 1 : 10¹⁵ (tj. cca jednu sekundu za třicet miliónů let) a připravují se hodiny s přesností 1 : 10¹⁸ (1 s za dobu dvakrát delší než trvání Vesmíru).

Zde další pokrok spočívá spíš ve snadnější dostupnosti. Pro běžnou praxi bohatě stačí standardní časové signály vysílané z Mainflingenu (asi 25 km jihovýchodně Frankfurtu), v lepším případě ještě korigované na vzdálenost od vysílače (v ČR tedy 1 až 2 ms). Sekunda jako jednotka nám proto patrně zůstane, a to odvozena od chodu césiových hodin.

Bohužel, její násobky jsou historicky spjaté s šedesátkovou soustavou starých Babyloňanů. Původní francouzský návrh dne jako jednotky s dělením desetinným se v praxi neujal.

Délka: Délková jednotka byla původně (1799) odvozena z rozměrů Země («le mètre des archives»), poté (1889) stanovená konvenčně jako vzdálenost dvou vrypů na jisté platinoiridiové tyči («le mètre vrai et définitif»). Později (1960) byla fakticky převedena na časový standard odvozením z délky vlny kryptonové (⁸⁶Kr) čáry. Nakonec (1983) bylo rozhodnuto metr odvodit přímo ze sekundy tím, že jednou provždy byla světelná rychlost zvolena jako c₀ = 299 792 458 m/s. I metr nám tedy patrně zůstane.

Názorně řečeno: Kdyby se tedy např. ukázalo, že s daným etalonem délky vyjde světelná rychlost větší, pak bude tento etalon prodloužen tak, aby světelná rychlost zůstala zachována.

Hmotnost: Ta je v současnosti nejslabším článkem SI. Platinoiridiový etalon v Sėvres není totiž absolutně neproměnný; i jeho vyleštěný povrch může absorbovat cizí látky a porovnáváním s užívanějšími kopiemi lze odhadnout, že jeho odchylka mohla časem vzrůst až na 50 μg, tedy řádově 1 : 2×10⁷. Redefinice kilogramu je celkem jistá.

Elektrický proud: Nyní je elektrický proud definován přes své silové účinky a jeho jednotka je tedy závislá na kilogramu z definice síly. Není však zatím jednota v tom, zda ponechat sílu a přesnou magnetickou μ₀ (a tím i elektrickou ε₀) konstantu, anebo – spíše – vyjít z elementárního náboje e (záporně vzatý náboj elektronu) a proud měřit nábojem přeneseným za jednu sekundu.

Teplota: jednotka kelvin bude redefinována. Striktně vzato, teplota trojného bodu chemicky čisté vody závisí (byť nepatrně) i na jejím izotopickém složení (¹H, ²H, ¹⁶O, ¹⁷O, ¹⁸O ve všech kombinacích v H₂O), což je principiálně neuspokojující. Proto bude kelvin vázán prostě na Boltzmannovu konstantu tím, že vztah k_BT = E převádí teplotu na energii.

Množství látky: jednotka mol bude vztažena na Avogadrovu konstantu N_A, která bude stanovena definitoricky (asi jako je definitoricky stanovena rychlost světla). Tím přestane být definice molu závislá na definici kilogramu.

Odstraní se tím i známá nepříjemnost, že mol je vlastně bývalá grammolekula, a nikoli kilogrammolekula, jak by se pro konzistenci SI slušelo.

Svítivost: jednotka kandela zůstává nezměněna.

Ke všem jednotkám: Veškeré nové definice budou ovšem volbou číselných hodnot připraveny tak, aby změna hodnoty základní jednotky před redefinicí a po ní byla co nejmenší.

Nové definice
Na zasedání Generální konference pro váhy a míry CGPM v roce 2011 se jednalo o redefinici kilogramu, ampéru, kelvinu a molu. S výjimkou etalonu pro čas (přesněji řečeno: pro dobu) budou všechny ostatní jednotky opřeny o vhodné fundamentální konstanty, eventuálně o konkrétní prvek (křemík, ²⁸Si)

Nejistá situace je u hmotnosti. Jsou zde dvě možnosti. První je fixace Planckovy konstanty h („výkonové váhy“) využitím Josephsonova jevu a kvantového Hallova jevu pro fixaci elektrických veličin. Druhá možnost je fixace Avogadrovy konstanty, tzv. „Projekt Avogadro“. Německým výzkumníkům se totiž podařilo poprvé změřit interferometricky se zářením X mezimřížkové vzdálenosti v krystalickém křemíku, aniž potřebovali znát vlnovou délku užitého záření [2]. Při znalosti makroskopického objemu a mikroskopické velikosti mřížky lze tedy vypočítat počet částic v daném vzorku látky (křemíková koule); Avogadrova konstanta dá pak vztah mezi makroskopickou hmotností vzorku a hmotností částečky, která ho tvoří (křemík ²⁸Si). Monokrystalickou křemíkovou kilogramovou kouli vyrobili tak přesně, že její průměry v různých směrech se liší maximálně o 30 nm až 50 nm, což bylo změřeno v cca 30 směrech. Poté následovalo interferometrické měření průměrů v cca 400 000 směrech (s nejistotou 1nm) a z nich byl vypočten objem. Samozřejmě bylo nutno zvládnout i problémy vznikající tím, že při leštění se na křemíku vytvoří vrstva oxidu křemičitého tloušťky několika nanometrů, kterou je rovněž třeba započítat.

Předpokládaná formulace při první možnosti je:

Mezinárodní soustava jednotek, SI, je soustava jednotek, v níž
1. frekvence přechodu mezi dvěma hladinami hyperjemné struktury v základním stavu césia ¹³³Cs je přesně 9 192 631 770 Hz;
2. rychlost světla ve vakuu je přesně c₀ = 299 792 458 m/s;
3. Planckova konstanta je přesně h = 6,626 068 96×10 ^–34 Js;
4. elementární náboj je přesně e = 1,602 176 487×10 ^–19 C;
5. Boltzmannova konstanta je přesně k_B = 1,380 650 4×10 ^–23 J/K;
6. Avogadrova konstanta je přesně N_A = 6,022 141 79×10 ²³ mol^–1;
7. spektrální světelný účinek K(λ₅₅₅) monochromatického záření s frekvencí 540×10¹² Hz je přesně 683 lumenů na watt.
Pikantní problém je se složeným jménem základní jednotky kilogram. Navrhuje se nový název rutherford, a kilogram by zůstal jako vedlejší název (asi jako litr). Snad by i lidi časem kilogramu odvykli, jako odvykli loktu …

Literatura

[1] International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). 3. vydání. JCGM 2008

[2] U. Bonse, M. Hart, Z. Phys. 188 (1965), 154

[3] J. Obdržálek: Základní fyzikální jednotky po roce 2011. Metrologie

[4] http://www.bipm.org a související stránky